Problemas
Junio de 2008 Opción A Ejercicio 3
Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros.
a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?
b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuántos billetes hay de cada tipo.
Un cajero automático contiene sólo billetes de 10, 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros.
a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?
b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuántos billetes hay de cada tipo.
a) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50?
En este problema se nos dan los datos necesarios para que planteemos dos de las ecuaciones de un sistema con tres incógnitas. Aquí analizamos el apartado A), donde se nos ofrece un dato (el número de billetes de 10 (x) es el triple que el de billetes de 50 (z) que nos permitiría hallar una tercera ecuación. A continuación nos preguntan si este sistema es o no posible. Para averiguarlo, comprobaremos cómo es el sistema de acuerdo al teorema de Rouché- Frobenius (compatible determinado(1 solución), compatible indeterminado(infinitas soluciones) o incompatible(sin solución)). Para ello planteamos la matriz del sistema y la matriz ampliada, y hallamos sus rangos (en este caso, por determinantes. Obtenemos que los rangos de la matriz del sistema y la matriz ampliada no son iguales, el sistema, por tanto, no tiene solución, y es imposible que se cumpla x=3z.
En este problema se nos dan los datos necesarios para que planteemos dos de las ecuaciones de un sistema con tres incógnitas. Aquí analizamos el apartado A), donde se nos ofrece un dato (el número de billetes de 10 (x) es el triple que el de billetes de 50 (z) que nos permitiría hallar una tercera ecuación. A continuación nos preguntan si este sistema es o no posible. Para averiguarlo, comprobaremos cómo es el sistema de acuerdo al teorema de Rouché- Frobenius (compatible determinado(1 solución), compatible indeterminado(infinitas soluciones) o incompatible(sin solución)). Para ello planteamos la matriz del sistema y la matriz ampliada, y hallamos sus rangos (en este caso, por determinantes. Obtenemos que los rangos de la matriz del sistema y la matriz ampliada no son iguales, el sistema, por tanto, no tiene solución, y es imposible que se cumpla x=3z.
b) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50, calcula cuántos billetes hay de cada tipo.
Nuevamente nos dan datos para hallar una tercera ecuación. Esta vez podremos aplicar el método de Cramer para resolver el sistema.
Para aplicar este método, es necesario hallar el determinante de la matriz del sistema, que en este caso vale 10.
A continuación, para cada incógnita, procedemos como sigue: establecemos una fracción cuyo numerador sea el determinante de una matriz cuadrada de orden 3 donde en la columna que corresponde a la incógnita en cuestión coloquemos la cuarta columna (c4, ver resolución del apartado a)), quedando las otras dos igual. En el denominador, colocamos el determinante de la matriz del sistema. Operando el cociente, llegamos al valor de la incógnita.
Nuevamente nos dan datos para hallar una tercera ecuación. Esta vez podremos aplicar el método de Cramer para resolver el sistema.
Para aplicar este método, es necesario hallar el determinante de la matriz del sistema, que en este caso vale 10.
A continuación, para cada incógnita, procedemos como sigue: establecemos una fracción cuyo numerador sea el determinante de una matriz cuadrada de orden 3 donde en la columna que corresponde a la incógnita en cuestión coloquemos la cuarta columna (c4, ver resolución del apartado a)), quedando las otras dos igual. En el denominador, colocamos el determinante de la matriz del sistema. Operando el cociente, llegamos al valor de la incógnita.
DISCUTIR Y RESOLVER
Examen de reserva del 2000 Opción B Ejercicio 4
Considera el sistema de ecuaciones:
⎧λx+ 2y= 3
⎨−x +2λz =−1
⎩ 3x−y −7z =λ+1
a) Halla todos los valores del parámetro λ para los que el sistema correspondiente tiene infinitas soluciones
b) Resuelve el sistema para los valores de λ en el apartado anterior.
c) Discute el sistema para los restantes valores de λ.
Considera el sistema de ecuaciones:
⎧λx+ 2y= 3
⎨−x +2λz =−1
⎩ 3x−y −7z =λ+1
a) Halla todos los valores del parámetro λ para los que el sistema correspondiente tiene infinitas soluciones
b) Resuelve el sistema para los valores de λ en el apartado anterior.
c) Discute el sistema para los restantes valores de λ.
En este caso, en lugar de resolver los apartados por separado, haremos un único proceso que los englobe a los tres.
Empezaremos por discutir el sistema, aplicando el teorema de Rouché- Frobenius, para lo cual estudiamos para qué valores de λ (lambda) el determinante de la matriz del sistema es cero. Que la matriz del sistema sea cero nos indica que su rango es inferior a 3.
Operando el determinante por Sarrus obtenemos dos valores: 1 y -7, lo que deja tres posibles casos:
Empezaremos por discutir el sistema, aplicando el teorema de Rouché- Frobenius, para lo cual estudiamos para qué valores de λ (lambda) el determinante de la matriz del sistema es cero. Que la matriz del sistema sea cero nos indica que su rango es inferior a 3.
Operando el determinante por Sarrus obtenemos dos valores: 1 y -7, lo que deja tres posibles casos:
- λ distinto de 1 y -7, es este caso tanto el rango de la matriz del sistema (A) como el de la matriz ampliada del sistema (A*) es 3,y coincide con el número de incógnitas. Según el teorema de Rouché-Frobenius, en este caso el sistema es compatible determinado y tiene una única solución para cada valor.
- λ=1, en este caso, el R(A)=2, y lo mismo ocurre con A*. Según el teorema de Rouché-Frobenius, cuando el rango de la matriz del sistema y de la matriz ampliada coinciden, este número es distinto del número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Este es el valor de λ que nos pide el apartado a). El apartado b), además, nos pide que resolvamos el sistema para ese valor de λ. Para ello damos a una de las incógnitas (z en este caso) el valor de un parámetro t, y despejamos las demás incógnitas dejándolas en función de t.
- λ=-7. De nuevo hallamos el rango de A y A* para este valor de LAMBDA, obteniendo como resultado que R(A)=2 y R(A*)=3. Según el teorema de Rouché-Frobenius, si el rango de la matriz del sistema y el de la matriz ampliada del sistema son diferentes, el sistema es incompatible. Esto quiere decir que para λ=-7 el sistema no tiene solución.
Sistemas homogéneos
Examen de reserva de 2004 Opción A Ejercicio 3.
Considera el sistema de ecuaciones:
⎧x+ 3y+z= 0
⎨2x-13y +2z =0
⎩ (a+2)x−12y +12z =0
Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor de a.
Considera el sistema de ecuaciones:
⎧x+ 3y+z= 0
⎨2x-13y +2z =0
⎩ (a+2)x−12y +12z =0
Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor de a.
Empezaremos por definir un sistema homogéneo como aquel para el cual todos los elementos de la matriz de los términos independientes (los miembros situados a la derecha de cada ecuación del sistema) valen 0.
En el caso de que un sistema homogéneo sea compatible y determinado (R(A)=R(A*)=nº de incógnitas) su solución es siempre la solución trivial: x=0, y=0, z=0
Solo en el caso de que el sistema sea compatible indeterminado (R(A)=R(A*) pero distintos del nº de incógnitas) tendrá soluciones distintas a la trivial.
Dicho esto, procedamos a ver la resolución de nuestro problema:
Como ya hemos aclarado, las solución distintas de la trivial solo se darán cuando el sistema sea compatible indeterminado. Para hallar cuál es el valor de a para que esta condición se cumpla, igualamos el determinante de la matriz del sistema (A) a 0, y despejamos a; a=10.
A continuación, discutimos el sistema según los valores de a. Solo hay dos casos posibles:
En el caso de que un sistema homogéneo sea compatible y determinado (R(A)=R(A*)=nº de incógnitas) su solución es siempre la solución trivial: x=0, y=0, z=0
Solo en el caso de que el sistema sea compatible indeterminado (R(A)=R(A*) pero distintos del nº de incógnitas) tendrá soluciones distintas a la trivial.
Dicho esto, procedamos a ver la resolución de nuestro problema:
Como ya hemos aclarado, las solución distintas de la trivial solo se darán cuando el sistema sea compatible indeterminado. Para hallar cuál es el valor de a para que esta condición se cumpla, igualamos el determinante de la matriz del sistema (A) a 0, y despejamos a; a=10.
A continuación, discutimos el sistema según los valores de a. Solo hay dos casos posibles:
- a distinta de 10, para el que el sistema es compatible determinado, es decir, solo tiene la solución trivial.
- a=10, para el que el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones. En este caso, la diferencia entre nº de incógnitas y R(A) es 1, por lo que el sistema es compatible indeterminado de primer orden, retiramos una de las ecuaciones. Sustituimos z por un parámetro t, y resolvemos como cualquier otro sistema.