Propiedades de determinantes
Examen de reserva de 2011 Opción A Ejercicio 3
Ejercicio 3.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A| = 1/2 y |B| = -2.
Halla:
a) Determinante de: A al cubo
b) Determinante de la inversa de A
c) |-2A|
d) |A Bt|, siendo Bt la matriz traspuesta de B.
e) El rango de B.
Ejercicio 3.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son |A| = 1/2 y |B| = -2.
Halla:
a) Determinante de: A al cubo
b) Determinante de la inversa de A
c) |-2A|
d) |A Bt|, siendo Bt la matriz traspuesta de B.
e) El rango de B.
De resolución sencilla, para resolver este problema necesitamos dominar las propiedades de determinantes, que nos permiten explicar la resolución:
a)Determinante de: A al cubo
La propiedad que usamos en este apartado es que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada matriz.
En este caso, el determinante de A al cubo es igual al cubo del determinante de A.
b) Determinante de la inversa de A
Para este apartado, usamos la propiedad del apartado anterior así como la expresión que define a la matriz inversa de otra: el producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz unidad I, en este caso de orden 3, tal y como aparece en la resolución del problema
c)|-2A|
La propiedad que aplicamos en este apartado es que al multiplicar una matriz por un número, cada uno de sus elementos queda multiplicado por dicha cifra. En cambio, para que un determinante quede multiplicado por una cifra basta con que este multiplique a los elementos de una sola de sus filas o columnas. De ahí que el determinante de un número por una matriz cuadrada equivale al determinante de esa matriz multiplicada por ese número elevado al número de filas/columnas de la matriz.
|k.A |=k elevado a n |A| siendo A una matriz cuadrada de orden n
d)|A Bt|, siendo Bt la matriz traspuesta de B
Aquí aplicamos de nuevo la propiedad del apartado a), a la que sumamos la siguiente: el determinante de un matriz es igual al determinante de su traspuesta. De ahí que |A.Bt|=|A.B|=|A|.|B|
e) El rango de B.
Uno de los métodos para calcular el rango es aplicar determinantes. En el caso de que el determinante de la matriz de un resultado distinto de 0, la matriz tendrá el mayor rango posible. En este caso |B|=-2, es decir, distinto de 0, por lo que establecemos que el R(B)=3
a)Determinante de: A al cubo
La propiedad que usamos en este apartado es que el determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada matriz.
En este caso, el determinante de A al cubo es igual al cubo del determinante de A.
b) Determinante de la inversa de A
Para este apartado, usamos la propiedad del apartado anterior así como la expresión que define a la matriz inversa de otra: el producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz unidad I, en este caso de orden 3, tal y como aparece en la resolución del problema
c)|-2A|
La propiedad que aplicamos en este apartado es que al multiplicar una matriz por un número, cada uno de sus elementos queda multiplicado por dicha cifra. En cambio, para que un determinante quede multiplicado por una cifra basta con que este multiplique a los elementos de una sola de sus filas o columnas. De ahí que el determinante de un número por una matriz cuadrada equivale al determinante de esa matriz multiplicada por ese número elevado al número de filas/columnas de la matriz.
|k.A |=k elevado a n |A| siendo A una matriz cuadrada de orden n
d)|A Bt|, siendo Bt la matriz traspuesta de B
Aquí aplicamos de nuevo la propiedad del apartado a), a la que sumamos la siguiente: el determinante de un matriz es igual al determinante de su traspuesta. De ahí que |A.Bt|=|A.B|=|A|.|B|
e) El rango de B.
Uno de los métodos para calcular el rango es aplicar determinantes. En el caso de que el determinante de la matriz de un resultado distinto de 0, la matriz tendrá el mayor rango posible. En este caso |B|=-2, es decir, distinto de 0, por lo que establecemos que el R(B)=3