Ecuación matricial con incógnitas y matrices inversas
Examen de reserva de 2007 Opción A Ejercicio 3
a) Calcula el valor de m para el que la matriz dada A verifica la relación 2(A.A) - A = I y determina la inversa de A para dicho valor de m.
b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2(M.M) - M = I, determina la expresión de la inversa de M en función de M y de I.
a) Calcula el valor de m para el que la matriz dada A verifica la relación 2(A.A) - A = I y determina la inversa de A para dicho valor de m.
b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2(M.M) - M = I, determina la expresión de la inversa de M en función de M y de I.
a) Calcula el valor de m para el que la matriz dada A verifica la relación 2(A.A) - A = I y determina la inversa de A para dicho valor de m.
En primer lugar, operamos para resolver la ecuación, tras lo que obtenemos un sistema de dos ecuaciones con una sola incógnita. En el primer sistema obtenemos una solución mientras que en el segundo, dos, una de las cuales no es válida para el primer sistema. Solo aceptamos, por tanto, la solución válida para ambos sistemas: m=-1/2
Una vez tenemos el valor de m, y por tanto podemos completar la matriz A, hallamos la inversa de A dividiendo la traspuesta de la adjunta de A entre det(A)
b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2(M.M) - M = I, determina la expresión de la inversa de M en función de M y de I.
La resolución del apartado b) parte de la definición de matriz inversa (el producto de una matriz M por su inversa es igual a I, siendo I la matriz unidad del mismo orden que M). En este caso empezamos por sacar factor común de M en el primer miembro. Nótese que M multiplica a (2M-1) por la derecha, hecho que no debemos ignorar, dado que el producto de matrices no es conmutativo. Igualmente, en el segundo miembro obtenemos el producto de M por su inversa, al sustituir I por su equivalente en la expresión de la definición de matriz inversa. Para quitar las M que multiplican a ambos miembros por la derecha, multiplicamos los dos miembros por la derecha por la inversa de M, obteniendo así que la matriz inversa de M vale (2M-1).
En primer lugar, operamos para resolver la ecuación, tras lo que obtenemos un sistema de dos ecuaciones con una sola incógnita. En el primer sistema obtenemos una solución mientras que en el segundo, dos, una de las cuales no es válida para el primer sistema. Solo aceptamos, por tanto, la solución válida para ambos sistemas: m=-1/2
Una vez tenemos el valor de m, y por tanto podemos completar la matriz A, hallamos la inversa de A dividiendo la traspuesta de la adjunta de A entre det(A)
b) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2(M.M) - M = I, determina la expresión de la inversa de M en función de M y de I.
La resolución del apartado b) parte de la definición de matriz inversa (el producto de una matriz M por su inversa es igual a I, siendo I la matriz unidad del mismo orden que M). En este caso empezamos por sacar factor común de M en el primer miembro. Nótese que M multiplica a (2M-1) por la derecha, hecho que no debemos ignorar, dado que el producto de matrices no es conmutativo. Igualmente, en el segundo miembro obtenemos el producto de M por su inversa, al sustituir I por su equivalente en la expresión de la definición de matriz inversa. Para quitar las M que multiplican a ambos miembros por la derecha, multiplicamos los dos miembros por la derecha por la inversa de M, obteniendo así que la matriz inversa de M vale (2M-1).
Ecuación matricial y existencia de matrices inversas
Examen de junio de 2011 Opción B Ejercicio 3.
Dada la matriz A =
a) Determina los valores de λ para los que la matriz (A.A) + 3A no tiene inversa.
b) Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.
Dada la matriz A =
a) Determina los valores de λ para los que la matriz (A.A) + 3A no tiene inversa.
b) Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.
a) Determina los valores de λ para los que la matriz (A.A) + 3A no tiene inversa.
Para resolver este apartado tendremos que aplicar la definición de inversa por adjuntos, según la cual, como vemos en el desarrollo matemático, la inversa de una matriz A es igual al cociente de la traspuesta de sus adjunta (o la adjunta de su traspuesta, según se quiera) entre su determinante.
Sabiendo esto, deducimos que solo tendrá inversa aquella matriz cuyo determinante valga 0 (para la cual el cociente de la expresión anterior no pueda efectuarse).
Por consiguiente, lo que se nos pide es, a partir de la expresión dada , calcular una matriz cuyo determinante valga 0.
Operando, llegamos a una matriz en la cual aparece la incógnita λ en dos elementos. La solución la hallaremos igualando el determinante de esta a 0, y resolviendo la ecuación que obtenemos, en la cual
λ es la incógnita.
b) Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.
El apartado B es muy sencillo, se trata únicamente de una ecuación matricial, para la cual empezaremos por aislar a la matriz X en uno de los dos miembros. Vemos que para aislar X, no pasamos la matriz A dividiendo al otro miembro, ya que no existe el cociente de matrices.En su lugar, aplicamos la definición de
inversa según la cual el producto de una matriz por su inversa equivale a la matriz unidad.
Una vez hemos aislado X, nos limitamos a operar el otro miembro hasta alcanzar el resultado.
Para resolver este apartado tendremos que aplicar la definición de inversa por adjuntos, según la cual, como vemos en el desarrollo matemático, la inversa de una matriz A es igual al cociente de la traspuesta de sus adjunta (o la adjunta de su traspuesta, según se quiera) entre su determinante.
Sabiendo esto, deducimos que solo tendrá inversa aquella matriz cuyo determinante valga 0 (para la cual el cociente de la expresión anterior no pueda efectuarse).
Por consiguiente, lo que se nos pide es, a partir de la expresión dada , calcular una matriz cuyo determinante valga 0.
Operando, llegamos a una matriz en la cual aparece la incógnita λ en dos elementos. La solución la hallaremos igualando el determinante de esta a 0, y resolviendo la ecuación que obtenemos, en la cual
λ es la incógnita.
b) Para λ = 0, halla la matriz X que verifica la ecuación AX + A = 2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.
El apartado B es muy sencillo, se trata únicamente de una ecuación matricial, para la cual empezaremos por aislar a la matriz X en uno de los dos miembros. Vemos que para aislar X, no pasamos la matriz A dividiendo al otro miembro, ya que no existe el cociente de matrices.En su lugar, aplicamos la definición de
inversa según la cual el producto de una matriz por su inversa equivale a la matriz unidad.
Una vez hemos aislado X, nos limitamos a operar el otro miembro hasta alcanzar el resultado.
Ecuación matricial y matriz elevada a exponente par e impar.
a) Calcula la matriz inversa de A.
El primer apartado de este ejercicio no presenta ninguna dificultad, simplemente aplicamos la expresión de la matriz inversa como se ve en el desarrollo matemático. Hallamos primero la adjunta de la matriz A y a a continuación averiguamos la traspuesta de esta adjunta (la matriz traspuesta es aquella donde las líneas y las columnas están intercambiadas). Por último, dividimos dividimos la matriz por el determinante.
b) Calcula A elevado a 127 y a 128.
En este caso, planteamos la potencia de la forma más simple posible. Como se ve, en nuestro desarrollo partiremos del cuadrado de la matriz A.Al operar por separado A al cuadrado obtenemos como resultado la matriz unidad I (recordemos que el producto de una matriz por I da como resultado esa misma matriz).
Así, A elevado a 127(índice par) acaba siendo el producto de A por la matriz unidad, mientras que A elevado a 128 (índice impar) da como resultado la propia I.
c) Determina x e y tal que AB=BA
De nuevo estamos ante un apartado muy sencillo para el cual lo único que necesitamos es operar las dor matrices en ambos términos, quedándonos una igualdad entre matrices en las que algunos de sus elementos los constituyen las incógnitas x e y, que podemos despejar sin necesidad de operar y cuyo valor viene dado por la propia igualdad.
El primer apartado de este ejercicio no presenta ninguna dificultad, simplemente aplicamos la expresión de la matriz inversa como se ve en el desarrollo matemático. Hallamos primero la adjunta de la matriz A y a a continuación averiguamos la traspuesta de esta adjunta (la matriz traspuesta es aquella donde las líneas y las columnas están intercambiadas). Por último, dividimos dividimos la matriz por el determinante.
b) Calcula A elevado a 127 y a 128.
En este caso, planteamos la potencia de la forma más simple posible. Como se ve, en nuestro desarrollo partiremos del cuadrado de la matriz A.Al operar por separado A al cuadrado obtenemos como resultado la matriz unidad I (recordemos que el producto de una matriz por I da como resultado esa misma matriz).
Así, A elevado a 127(índice par) acaba siendo el producto de A por la matriz unidad, mientras que A elevado a 128 (índice impar) da como resultado la propia I.
c) Determina x e y tal que AB=BA
De nuevo estamos ante un apartado muy sencillo para el cual lo único que necesitamos es operar las dor matrices en ambos términos, quedándonos una igualdad entre matrices en las que algunos de sus elementos los constituyen las incógnitas x e y, que podemos despejar sin necesidad de operar y cuyo valor viene dado por la propia igualdad.